Exponenciação

Este 'post', cujo caráter é tendencialmente matemático, procura trazer à rede um excerto de trabalhos de exploração que desenvolvemos, à cerca de duas décadas, durante os anos de faculdade.

Considero este extrato original na medida em que foi desenvolvido de raiz, partindo de conceitos e intuições nascidos da minha própria experiência com as matemáticas. Não se tratará, muito provavelmente, de um qualquer contributo indispensável mas tão somente de uma brincadeira com equações. Estou certo que vos poderá cativar a beleza das transformações descritas, em particular aos leitores com alguma intimidade com as matemáticas ou com a computação.

A equação que vou, de um modo, provavelmente, algo peculiar, explorar e, finalmente, converter num algoritmo executável em computador é a seguinte:

(eq.1)

A expansão da equação (eq.1) poderá ser representada do seguinte modo:

Vejamos, na tabela seguinte, este resultado para várias concretizações de números naturais representados por n:

(tab.1)

Vamos analisar o conjunto dos polinómios da tabela anterior e vamos procurar relacionar entre si os coeficientes associados à mesma exponenciação da variável real x. Com esse objetivo construamos uma nova tabela dispondo apenas os coeficientes dos termos dos polinómios para cada natural n:

(tab.2)

É evidente que, para cada coluna da tabela (tab.2), é dedutível um polinómio, em ordem ao natural n, que, multiplicado pela exponenciação de x, nos retorne, para cada par (x,n) o termo correspondente a essa coluna no polinómio da tabela (tab.1). As raízes de cada um dos polinómios evidenciam-se nas primeiras linhas de cada coluna da tabela (tab.2). Concretizemos, na tabela seguinte, essas equações polinomiais:

(tab.3)

Chegamos à página do nosso 'post' onde é razoável mostrar a equação geral t(c,x,n) que nos retorne o termo polinomial correspondente à coluna c e ao natural n, e a equação é a seguinte:

(eq.2)

A equação completa do polinómio para um natural n fica somente à distância de um nível de generalização. Será então a seguinte:

(eq.3)

Para esta equação (eq.3), a parcela 1 da soma principal resulta da constante invariavelmente presente nos polinómios apresentados na tabela (tab.1) e o limite superior do somatório, que na sequência da estrutura dos polinómios apresentados na mencionada tabela (tab.1) seria n, foi substituído pelo infinito. Esta substituição é válida dado que o produtório anula-se quando p iguala o natural n, i.e., sempre que, no somatório, c é superior a n, existe um fator zero que anula o produtório.

Na prossecução do nosso objetivo possuímos nesta etapa condições para ampliar o universo de valores aceites como parâmetro na equação (eq.3). Nada impede que a variável n natural seja substituída por uma variável y real. A estrutura alcançada na equação (eq.3) possibilita esta substituição. As equações (eq.1) e (eq.3) passam então a ter a seguinte definição:

(eq.4)

Se substituirmos na equação (eq.4) o fatorial do natural c e a exponenciação de x ao natural c pelas respetivas definições, obtemos a equação seguinte:

(eq.5)

Simplifiquemos, agora, a equação (eq.5):

(eq.6)

Vejamos em que condições, na equação (eq.6), a soma da série de números correspondentes a cada natural c converge. Cada número da série concretiza-se pelo cálculo do produtório presente na equação:

(ex.1)

É sabido que se uma série converge em valor absoluto então converge. Usemos o teste da razão ou critério de d'Alembert determinando . Pela definição de  na expressão (ex.1), o cálculo do limite será:

(ex.2)

Se x somente assumir valores no intervalo ]-1; +1[, o limite na expressão (ex.2) será inferior a 1 e a série convergirá absolutamente. Se x assumir os valores extremos -1 ou +1 e se y > -1, ou seja, y - c < c + 1, o limite,  na expressão (ex.2), será também inferior a 1.

Concretizemos, a título de exemplo, a equação (eq.6)  na determinação da clássica:

Obtemos a seguinte sequência:

Note-se, x = 1 está numa das fronteiras de valores estabelecidos para convergência da série definida na expressão (ex.1) e percebe-se uma convergência computacionalmente pouco atrativa. No entanto, para situações onde x extravasa as fronteiras, podemos inverter a base e eleva-la ao expoente y:

Obtemos a seguinte sequência cuja convergência é computacionalmente comparativamente mais rápida:

Finalmente utilizemos a equação (eq.6) e as condições estabelecidas na verificação do critério de d'Alembert para escrevermos um algoritmo em pseudo-código para cálculo do valor de um número x real elevado a um número y real:

função xelevadoay(x real, y real, iterações natural) real

   xelevadoay = 1   

   se x = 0 então sair função

   x0 = x - 1

   y0 = y

   se x < 0 ou x > 2 então x0 = 1 / x - 1      

   produtório = 1

   para c de 1 até iterações

      produtório = produtório * ((y0 - (c - 1)) / c) * x0

      xelevadoay = xelevadoay + produtório

   seguinte

   se x < 0 ou x > 2 então xelevadoay = 1 / xelevadoay

fim função