Dá-me 0’s e 1’s ao acaso e eu te darei PI

Tirei da gaveta e dei nova face a esta investigação que desenvolvi (e esqueci) nos meus saudosos tempos como universitário. Há muito mais na gaveta mas falta tempo. O público para esta temática teria de ser algo específico. O que me parece, neste momento, importante é dar luz a ideias que de outro modo ficariam esquecidas:

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De facto, terás de me dar muitos 0's e 1's. Nesta experiência que descrevo foram criados, em computador, mais de 14 mil milhões de 0's e 1's ao acaso para obtermos uma interessante aproximação para π (com cerca de 4 dígitos de precisão). A aproximação foi até melhor que a conseguida por um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que π teria um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429!

Exponenciação

Este 'post', cujo caráter é tendencialmente matemático, procura trazer à rede um excerto de trabalhos de exploração que desenvolvemos, à cerca de duas décadas, durante os anos de faculdade.

Considero este extrato original na medida em que foi desenvolvido de raiz, partindo de conceitos e intuições nascidos da minha própria experiência com as matemáticas. Não se tratará, muito provavelmente, de um qualquer contributo indispensável mas tão somente de uma brincadeira com equações. Estou certo que vos poderá cativar a beleza das transformações descritas, em particular aos leitores com alguma intimidade com as matemáticas ou com a computação.

A equação que vou, de um modo, provavelmente, algo peculiar, explorar e, finalmente, converter num algoritmo executável em computador é a seguinte:

(eq.1)

A expansão da equação (eq.1) poderá ser representada do seguinte modo:

Vejamos, na tabela seguinte, este resultado para várias concretizações de números naturais representados por n:

(tab.1)

Vamos analisar o conjunto dos polinómios da tabela anterior e vamos procurar relacionar entre si os coeficientes associados à mesma exponenciação da variável real x. Com esse objetivo construamos uma nova tabela dispondo apenas os coeficientes dos termos dos polinómios para cada natural n:

(tab.2)

É evidente que, para cada coluna da tabela (tab.2), é dedutível um polinómio, em ordem ao natural n, que, multiplicado pela exponenciação de x, nos retorne, para cada par (x,n) o termo correspondente a essa coluna no polinómio da tabela (tab.1). As raízes de cada um dos polinómios evidenciam-se nas primeiras linhas de cada coluna da tabela (tab.2). Concretizemos, na tabela seguinte, essas equações polinomiais:

(tab.3)

Chegamos à página do nosso 'post' onde é razoável mostrar a equação geral t(c,x,n) que nos retorne o termo polinomial correspondente à coluna c e ao natural n, e a equação é a seguinte:

(eq.2)

A equação completa do polinómio para um natural n fica somente à distância de um nível de generalização. Será então a seguinte:

(eq.3)

Para esta equação (eq.3), a parcela 1 da soma principal resulta da constante invariavelmente presente nos polinómios apresentados na tabela (tab.1) e o limite superior do somatório, que na sequência da estrutura dos polinómios apresentados na mencionada tabela (tab.1) seria n, foi substituído pelo infinito. Esta substituição é válida dado que o produtório anula-se quando p iguala o natural n, i.e., sempre que, no somatório, c é superior a n, existe um fator zero que anula o produtório.

Na prossecução do nosso objetivo possuímos nesta etapa condições para ampliar o universo de valores aceites como parâmetro na equação (eq.3). Nada impede que a variável n natural seja substituída por uma variável y real. A estrutura alcançada na equação (eq.3) possibilita esta substituição. As equações (eq.1) e (eq.3) passam então a ter a seguinte definição:

(eq.4)

Se substituirmos na equação (eq.4) o fatorial do natural c e a exponenciação de x ao natural c pelas respetivas definições, obtemos a equação seguinte:

(eq.5)

Simplifiquemos, agora, a equação (eq.5):

(eq.6)

Vejamos em que condições, na equação (eq.6), a soma da série de números correspondentes a cada natural c converge. Cada número da série concretiza-se pelo cálculo do produtório presente na equação:

(ex.1)

É sabido que se uma série converge em valor absoluto então converge. Usemos o teste da razão ou critério de d'Alembert determinando . Pela definição de  na expressão (ex.1), o cálculo do limite será:

(ex.2)

Se x somente assumir valores no intervalo ]-1; +1[, o limite na expressão (ex.2) será inferior a 1 e a série convergirá absolutamente. Se x assumir os valores extremos -1 ou +1 e se y > -1, ou seja, y - c < c + 1, o limite,  na expressão (ex.2), será também inferior a 1.

Concretizemos, a título de exemplo, a equação (eq.6)  na determinação da clássica:

Obtemos a seguinte sequência:

Note-se, x = 1 está numa das fronteiras de valores estabelecidos para convergência da série definida na expressão (ex.1) e percebe-se uma convergência computacionalmente pouco atrativa. No entanto, para situações onde x extravasa as fronteiras, podemos inverter a base e eleva-la ao expoente y:

Obtemos a seguinte sequência cuja convergência é computacionalmente comparativamente mais rápida:

Finalmente utilizemos a equação (eq.6) e as condições estabelecidas na verificação do critério de d'Alembert para escrevermos um algoritmo em pseudo-código para cálculo do valor de um número x real elevado a um número y real:

função xelevadoay(x real, y real, iterações natural) real

   xelevadoay = 1   

   se x = 0 então sair função

   x0 = x - 1

   y0 = y

   se x < 0 ou x > 2 então x0 = 1 / x - 1      

   produtório = 1

   para c de 1 até iterações

      produtório = produtório * ((y0 - (c - 1)) / c) * x0

      xelevadoay = xelevadoay + produtório

   seguinte

   se x < 0 ou x > 2 então xelevadoay = 1 / xelevadoay

fim função

Potência maxima produzida por um humano...

Afinal qual a potência máxima que um ser humano pode produzir? A questão será mais popular se for formulada da seguinte forma: Até quantos cavalos-vapor pode produzir um humano quando realiza uma tarefa utilizando toda a força que possuí?

Não temos como responder a esta pergunta mas podemos determinar este valor para um caso muito específico: Qual a potência produzida (em cavalos-vapor) por um atleta de nível mundial, saltador em altura, para transpor uma fasquia?

Antes de continuarmos, devemos relembrar o que é o cavalo-vapor (CV). O CV é uma unidade de potência. Um CV corresponde ao trabalho gasto para se erguer 75 quilogramas um metro em altura no tempo de 1 segundo. Um CV corresponde a 735,49875 watts (Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre). O watt (símbolo: W) é a unidade do Sistema Internacional de Unidades (SI) para potência. É equivalente a um joule por segundo. O joule (símbolo: J) é a unidade de energia e trabalho no SI. Um joule é o trabalho necessário para exercer a força de um newton pela distância de um metro. O joule seria também o trabalho necessário para levantar uma massa de 0,1 Kg (uma pequena maçã) um metro em altura, sob a gravidade terrestre. O newton (símbolo: N) é uma unidade de medida de força. Corresponde à força que faz um objecto de 1 kg ser acelerado a 1 metro por segundo ao quadrado.

O salto em altura, utilizando a técnica introduzida por Dick Fosbury nos Jogos Olímpicos de 1968, realizados na Cidade do México, denominada de Fosbury-flop, tem sido muito estudado. Para o objectivo proposto neste artigo usaremos, como suporte principal, o documento “Biomechanical Analysis of the High Jump at the 2005 IAAF World Championships in Athletics” produzido por Juha Isolehto, Mikko Virmavirta, Heikki Kyröläinen and Paavo V. Komi da Neuromuscular Research Center, Department of Biology of Physical Activity, University of Jyväskylä, Jyväskylä, FINLAND. O documento pode ser consultado no seguinte link http://www.iaaf.org/newsfiles/38219.pdf.

Tomaremos, da lista de atletas estudados no documento acima citado, Stefan Holm, Sueco, porque, devido à estatura relativamente baixa (1,81 m) e aos resultados que já obteve (note-se que tem um máximo pessoal no salto em altura de 2,40 m) evidentemente possuí um diferencial entre o máximo pessoal e a estatura corporal extraordinário. Este atleta terá de exercer uma potência extraordinária pois pode elevar extremamente o centro de massa (CM) dos seus 70 kg de massa corporal.

Seleccionando informação relevante do documento será bastante fácil chegar ao resultado que pretendemos. O estudo descrito no documento baseou-se nos resultados das análises biomecânicas realizadas nos mundiais de atletismo de 2005 em Helsínquia. Para a melhor performance de Stefan Holm nesses mundiais (2,29 m) importam os seguintes dados:

• Altura do CM no momento de pleno contacto com o solo do pé de apoio à impulsão imediatamente antes do salto: 0,87 m;
• Altura do CM no momento da perda de contacto com o solo: 1,28 m;
• Ponto mais elevado alcançado pelo CM: 2,32 m.

Comecemos por calcular o tempo gasto pelo CM desde o momento da perda de contacto com o solo até alcançar o ponto mais elevado. Utilizemos a fórmula seguinte, conhecida no estudo da Física, (que estabelece, na sua versão mais simples, o movimento de um corpo em queda livre sujeito à gravidade terrestre) para o cálculo: espaço percorrido = 0,5 x aceleração x (tempo elevado 2). Sabe-se que a aceleração da gravidade na superfície terrestre é de aproximadamente 9,8 metros por segundo quadrado. O deslocamento vertical do centro de massa (CM) de Stefan Holm foi de 2,32 – 1,28 = 1,04 m. Note-se que é indiferente supor que o corpo está em ascenção ou em queda para o cálculo que pretendemos. A fórmula fica então com o seguinte aspecto: 1,04 = 0,5 x 9,8 x (tempo elevado 2). Deduz-se então que o parâmetro tempo teria sido aproximadamente 0,46 segundos.

Obtido o tempo obtenhamos a velocidade. Utilizemos a fórmula seguinte, conhecida no estudo da Física, para calcular a velocidade de um corpo que parte do repouso após um certo tempo de aceleração constante (caso da queda livre): velocidade = aceleração x tempo. A fórmula fica então com o seguinte aspecto: velocidade = 9,8 x 0,46. Ou seja, a velocidade vertical do CM no momento da perda de contacto com o solo teria sido de aproximadamente 4,51 metros por segundo (m/s). Apesar de no documento de suporte ser indicada uma velocidade vertical no momento da perda de contacto com o solo de 4,73 m/s para Stefan Holm, por motivos de coerência com os pressupostos simplificadores que definimos, manteremos o valor de 4,51 m/s.

Utilizando um procedimento simplificador calculemos a aceleração que Stefan Holm conseguiu proporcionar ao seu CM no curto espaço desde o momento de pleno contacto com o solo do pé de apoio à impulsão imediatamente antes do salto até ao momento da perda de contacto com o solo. Este curto espaço terá sido de 1,28 – 0,87 = 0,41 m. Neste espaço o CM de Stefan Holm terá passado de uma velocidade nula a uma velocidade vertical de 4,51 m/s. Pressupondo uma aceleração constante (a aceleração durante a impulsão não terá sido exactamente constante mas isto não constitui um obstáculo ao cálculo dado que aquilo que obteremos é a aceleração média e portanto a potência máxima realmente exercida nunca poderá ser inferior ao valor que finalmente obteremos). Combinemos as duas fórmulas acima utilizadas para obtermos uma outra. Pela segunda fórmula deduzimos que tempo = velocidade / aceleração. Substituindo o parâmetro tempo na primeira fórmula obtemos: espaço percorrido = 0,5 x aceleração x ((velocidade / aceleração) elevado 2), ou seja, aceleração = 0,5 x (velocidade elevado 2) / espaço percorrido = 0,5 x 20,3 / 0,41 = 24,8 metros por segundo quadrado. A fórmula tempo = velocidade / aceleração permite-nos agora conhecer o tempo total de impulsão (parâmetro que será fundamental para o cálculo final da potência) que terá sido tempo = 4,51 / 24,8 = 0,182 segundos.

O cálculo da força é dado pela segunda lei de Newton onde força = massa x aceleração. Ou seja, força = 70 x 24,8 = 1736 newtons.

O cálculo do trabalho, na vertente da Física, realizado é dado pela seguinte fórmula: trabalho = força x deslocamento = 1736 x 0,41 = 711 joules.

A potência, ou seja, a grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma fonte a cada unidade de tempo é dada pela seguinte fórmula: potência = trabalho / tempo, ou seja, potência = 711 / 0,182 = 3907 watt. Utilizando a constante acima mencionada obtemos finalmente a potência em cavalos-vapor: 3907 / 735,49875 = 5,3 CV (aproximadamente).

Concluímos que, Stefan Holm produziu, pelo menos, cerca de 5,3 CV para transpor a fasquia no seu melhor salto nos mundiais de atletismo de 2005 em Helsínquia.

Para ilustrar o cálculo efectuado e os momentos relevantes no estabelecimento dos valores utilizados temos, em baixo, algumas imagens do salto vitorioso a 2,35 m de Donald Thomas, das Bahamas, medalha de ouro nos mundiais de atletismo 2007 em Osaka.

Momento de pleno contacto com o solo do pé de apoio à impulsão imediatamente antes do salto:

Momento da perda de contacto com o solo:

Fase intermédia da elevação:

Ponto mais elevado alcançado pelo CM do atleta: